چند وقت پیش دوستی یه مسئله جالب روزمره اش رو برای من تعریف کرد.

سرکلاس بودیم فهمیدیم دونفر تولدشون ۲۲ بهمنه!

(درمورد اهمیت خاص این‌ روز نمیخوایم صحبت کنیم)

بعد من یاد یک مسئله جالبی مرتبط با امار و احتمال افتادم که قبلا مختصری درموردش خوندم. اون موقع خیلی سریع ازش گذشتم و قانع نشدم که چرا همچین چیزی هست.

مسئله به این صورته:

فرض کنید که توی یه اتاق هستید. چند نفر رو توی اتاق نیاز دارید که احتمال یکسان بودن روز تولدتون با حداقل یکی از اونها ۵۰ درصد باشه؟

جواب شما به این مسئله تو چه محدوده ایه؟

هممم، حدود ۲۰۰ نفر؟ نه. جواب صحیح عدد بسیار کمتریه.

۱۸۲؟ پایین تر!

در حقیقت، جواب صحیح عدد ۲۳ هست! ۲۳ کجا ۳۶۵ کجا! عدد ۲۳ به نظر نمیاد که جواب صحیحی باشه،‌ یه عددِ اولی که به نظر نمیاد ارتباطی هم با تعداد روز های سال داشته باشه.

بیایید بررسی کنیم

شرح

فکر کردن به مسئله اصلی میتونه کمی گیج گننده باشه. برای اینکه کمی مسئله رو کمی قابل درک‌تر بشه، باید زاویه دید خودتون رو تغییر بدید:

به طور کلی، مسئله « احتمال یکسان بودن تولد » برعکسِ مسئله « احتمال اینکه هیچکس تولدش یکسان نباشه» هست. یعنی هردو باهم نمیتونن صادق باشن. ولی حداقل یکی از اینها باید صادق باشه!

این یعنی ما میتونیم احتمال یکی از این حالت‌ها رو، با تفریق کردن دیگری از ۱ بدست بیاریم:

با توجه به مسئله اصلی،‌ اول بیایید از یک مسئله ساده تر شروع کنیم. احتمال منحصر به فرد بودن تولد بین ۵ نفر چقدره؟ بیایید فرض کنیم سال کبیسه هست.

احتمال اینکه نفر اول تاریخ تولد یکسانی نداشته باشه ۳۶۶/۳۶۶ (معادل ۱) هست. و این احتمال برای نفر دوم ۳۶۵/۳۶۶ (معادل حدود ۰.۹۹۷) هست. همچنین برای نفر سوم ۳۶۴/۳۶۶ و … این الگو همینطور ادامه پیدا میکنه تا نفر پنجم. برای محاسبه احتمال یکسان نبودن تولد این پنج نفر، این پنج عدد رو درهم ضرب میکنیم. چون با یک پیشامد شرطی مستقل طرف هستیم:

پس احتمال اینکه همه این پنج نفر تولد متفاوتی داشته باشن بالاست:‌ 0.973

حالا، احتمال اینکه از این پنج نفر حداقل دو نفر تولد مشترک داشته باشند چقدره؟ برای بدست اوردن این احتمال،‌صرفا عدد بالا رو از ۱ تفریق میکنیم:

احتمال حدود ۲ درصد که مطابق انتظار، بسیار کمه.

این الگو برای تعداد افراد بالاتر هم ادامه داره. پس برای اینکه ببینیم چه زمانی این احتمال به ۵۰ درصد میرسه، این الگو رو با تعداد افراد بالاتر ادامه بدید.

روش دوم

یک روش دیگه برای حل این مسئله این هست که، احتمال یکسان نبودن تولد بین دو نفر رو به توانِ "تعداد جفت های موجود در کلاس" برسونید! تعداد جفت های موجود در کلاس از فرمول ترکیب (N Choose K) بدست میاد.

نمونه:

احتمال یکسان نبودن تولد بین دو نفر:‌ ۳۶۵/۳۶۶

تعداد کلاس : 21

جواب اخر:

پس احتمال اینکه بین ۲۱ نفر، هیچکس تولد مشترکی نداشته باشه: حدود ۵۶ درصده.

و احتمال اینکه بین این ۲۱ نفر، حداقل یک نفر روز تولد مشترک داشته باشند:

حدود ۴۰ درصد.

اگر برای این عدد هدف نگرفته بودید، میتونید با بالا یا پایین بردن تعداد نفرات، به احتمال مورد نظر خودتون برسید…

نتیجه

پند هایی که از این مسئله میتونیم بگیریم اینکه:

1. اکثر از افراد وقتی در مورد احتمال حرف می‌زنند، به طور شهودی (Common sense) فکر می‌کنند که اگر تعداد افراد بیشتر بشه، احتمال وقوع یک اتفاق خاص (مثلاً مشابه بودن روز تولد) به طور ــ مستقیم و خطی ــ افزایش پیدا می‌کنه. اما در مسائلی مثل تولد که «جفت ها» موضوعیت دارن، این موضوع درست نیست.
2. اگر توی مکانی با حدود ۲۰ نفر نشستید و حرف خوبی هم برای زدن نیست، تاریخ تولد همدیگه رو بپرسید و درمورد این مسئله صحبت کنید.